Справочник «Способы решения квадратных уравнений»




НазваниеСправочник «Способы решения квадратных уравнений»
Г.М. профессор кафедры управления проектами и программа
Дата03.12.2012
Размер346.52 Kb.
ТипСправочник


Электронный справочник «Способы решения квадратных уравнений»


Способы решений полных квадратных уравнений.



С помощью Дискриминанта.

  • Дискриминант позволяет определить сколько же корней имеет данное квадратное уравнение.

  • Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

она позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.
  • Таким образом, квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 ,

  • если D > 0, то имеет два различных корня;

  • если D = 0, то имеет единственный корень;

  • если D < 0, то не имеет корней.



Разложение на множители.

  • Пример 1

х2 – 4х + 4 = 0, разложим левую часть уравнения на множители;

х2 – 2х – 2х + 4 = 0,

х ( х – 2 ) – 2 ( х – 2 ) = 0,

( х – 2 )( х – 2 ) = 0, произведение равно нулю, значит хотя бы один из его множителей равен нулю

х – 2 = 0,

х = 2.

Ответ: 2.
  • Пример 2

х2 + 10х – 24 = 0,

х2 + 12х – 2х – 24 = 0,

х ( х + 12 ) – 2 ( х + 12 ) = 0,

( х + 12 ) ( х – 2 ) = 0,

х + 12 = 0 или х – 2 = 0

х = - 12 х = 2.

Ответ: -12 и 2.

Метод выделения полного квадрата.

  • Пример 1

х2 – 4х + 4 = 0, используем формулу сокращенного умножения;

( х – 2 )2 = 0,

х – 2 = 0,

х = 2.

Ответ: 2
  • Пример 2

х2 + 6х – 7 = 0, выделим в левой части полный квадрат

х2 + 2х · 3 + 32 – 32 – 7 = 0, первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3, поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32.

Преобразуем левую часть уравнения прибавляя к ней и вычитая 32.

( х + 3 )2 – 9 – 7 = 0,

( х + 3 )2 – 16 = 0,

( х + 3 )2 = 16,

х + 3 = 4 или х + 3 = - 4

х = 1 х = - 7.

Ответ: 1 и -7 .

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

  • Приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + рх + q = 0.

Его корни удовлетворяют теореме Виета: х1 · х2 = q

х1 + х2 = - р.

По коэффициентам можно предсказать знаки корней:



Свободный член положительный.

  • Если свободный член приведенного уравнения положителен, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента.

Если q > 0 и р > 0 , то оба корня отрицательны.

Если q > 0 и р < 0 , то оба корня положительные.
  • Пример 1

х2 + 10х + 9 = 0,

х1 = - 1 и х2 = - 9,

т.к. q = 9 > 0 и р = 10 > 0;
  • Пример 2

х2 – 6х + 9 = 0,

х1 = 3 и х2 = 3,

т.к. q = 9 > 0 и р = - 6 < 0.

Свободный член отрицательный.

  • Если свободный член приведенного уравнения отрицателен, то уравнение имеет два различных по знаку корня.

Если q < 0 и р > 0 , то больший по модулю корень будет отрицателен.

Если q < 0 и р < 0, то больший по модулю корень будет положителен.
  • Пример 1

х2 + 2х – 8 = 0,

х1 = - 4 и х2 = 2,

т.к. q = - 8 < 0 и р = 2 > 0 ;
  • Пример 2

х2 – 2х – 15 = 0,

х1 = 5 и х2 = - 3,

т.к. q = - 15 < 0 и р = - 2 < 0.

Решение уравнения способом «переброски».

  • Умножая обе части квадратного уравнения на а, получаем уравнение

а 2 х2 + аb х + а с = 0.

Пусть а х = у, откуда ; тогда получим уравнение у2 + bу + а с = 0,

равносильное данному. С помощью теоремы Виета найдем корни: у1 и у2,

где у1 у2 = ас и у1 + у2 = - b.

Окончательно получаем и .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».

Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
  • Пример

2х2 – 11х + 15 = 0, «перебросим» коэффициент 2 к свободному члену:

у2 – 11у + 30 = 0, согласно теореме Виета найдем корни:

у1у2 = 30 и у1 + у2 = 11,

у1 = 5 и у2 = 6, окончательно получим:

х1 = 5/2 и х2 = 6/2,

х1 = 2,5 и х2 = 3.

Ответ: 2,5 и 3.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

  • Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.



Первое свойство коэффициентов.

  • Если сумма коэффициентов равна нулю, т.е. а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = .

  • Доказательство: Разделим обе части уравнения на а, получим приведенное квадратное уравнение

  • Согласно теореме Виета: х1 · х2 = , х1 + х2 = - .

  • По условию, а + в + с = 0, тогда в = - а - с. Значит,

х1 · х2 = = 1 · , х1 + х2 = - = - = 1 + .
  • Получаем х1 = 1, х2 = , что и требовалось доказать.

  • Пример

3х2 + 5х – 8 = 0,

т.к. а + b + с = 0

( 3 + 5 – 8 = 0 ), то получим

х1 = 1, х2 = = -

Ответ: 1 и -

Второе свойство коэффициентов.

  • Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = -1, х2 = - .

Доказательство аналогично.
  • Пример

11х2 + 27х + 16 = 0,

Т.к. а - в + с = 0 (11 – 27 + 16 = 0 ), значит

х1 = - 1, х2 = - = - .

Ответ: -1 и -

Третье свойство коэффициентов.

  • Если второй коэффициент b = 2k четное число, то формулу корней можно записать в виде .

  • Пример

4х2 – 36х + 77 = 0,

а = 4, b = - 36, с = 77, k = - 18;

D = k2 – ас = ( - 18 )2 – 4 · 77 = 324 – 308 = 16, D > 0, два различных корня;

х1 = 5, 5 , х2 = 3,5.

Ответ: 5,5 и 3,5.

Графическое решение квадратных уравнений.

  • Преобразуем уравнение х2 + рх + q = 0 и получим вид: х2 = - рх - q .

  • Построим графики зависимостей у = х2 и у = - рх - q .

  • График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат.

  • График второй зависимости – прямая . (приложение 1, рис.1).

Возможны следующие случаи:
  • прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

  • прямая и парабола могут касаться и имеют одну общую точку, значит уравнение имеет одно решение;

  • прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.



Примеры.

  • Пример 1

х2 – 3х – 4 = 0, запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4, рассмотрим графики зависимостей у = х2 и у = 3х + 4,

Построим параболу у = х2 по координатам:

Прямую у = 3х + 4 построим по двум точкам М (0; 4) и N(3; 13) (приложение 1, рис.2).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1= -1 и х2=4.

Ответ: - 1 и 4 .
  • Пример 2.

х2 – 2х + 1 = 0,

Построим параболу у = х2 по координатам (см. таблицу выше) и прямую

у = 2х - 1 по двум точкам М(0; -1) и N(1\2; 0) (приложение 1, рис.3).

Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х = 1.

Ответ: 1.
  • Пример 3.

х2 – 2х + 5 = 0,

Построим параболу у = х2 по координатам (см. таблицу выше) и прямую

у = 2х - 5 по двум точкам М( 0; -5) и N( 2,5; 0) (приложение 1, рис.4).

Прямая и парабола не имеют точек пересечения, значит данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Приложение.

  • Рисунок 1



Приложение.

  • Рисунок 3



Спасибо за внимание!



Похожие:

Справочник «Способы решения квадратных уравнений» iconРешение квадратных уравнений 10-ю способами Элективный курс «10 способов решения квадратных уравнений» Цель
Повысить уровень знаний по истории о квадратных уравнениях и различных способах решения квадратных уравнений

Справочник «Способы решения квадратных уравнений» icon1 Египедские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений. 1 Египедские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений
Диофант в основном своем труде «Арифметика» дал решение задач, приводящих к т н диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную...

Справочник «Способы решения квадратных уравнений» iconАктуальность темы: Изучением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков. Мне захотелось узнать историю развития квадратных уравнений. Актуальность темы
Повысить уровень знаний по истории о квадратных уравнениях и различных способах решения квадратных уравнений

Справочник «Способы решения квадратных уравнений» iconСпособы решения квадратных уравнений
Предлагаемый курс по математике рассчитан на учащихся 9 классов. Может быть применен в классах с любым уровнем подготовки. Продолжительность...

Справочник «Способы решения квадратных уравнений» iconЖуравлев Сергей Учащийся 10 «Б» класса
Повысить уровень знаний по истории о квадратных уравнениях и различных способах решения квадратных уравнений

Справочник «Способы решения квадратных уравнений» iconПроект на тему: квадратные уравнения. Автор проекта
Повысить уровень знаний по истории о квадратных уравнениях и различных способах решения квадратных уравнений

Справочник «Способы решения квадратных уравнений» iconВвести определения квадратного уравнения, неполных квадратных уравнений
Учебное пособие-справочник для учителей и учащихся 6 класса по литературе(информация из Википедии)

Справочник «Способы решения квадратных уравнений» iconО математика в веках овеяна ты славой, Светило всех земных светил. Тебя царицей величавой Недаром Гаусс окрестил. Строга, логична, величава, Стройна в полете, как стрела, Твоя немеркнущая слава в веках бессмертье обрела.
Повысить уровень знаний по истории о квадратных уравнениях и различных способах решения квадратных уравнений

Справочник «Способы решения квадратных уравнений» iconПрезентация Тема урока
Примеры геометрического решения квадратных уравнений приводятся в знаменитой «Алгебре Мухаммеда аль-Хорезми»

Справочник «Способы решения квадратных уравнений» iconРаз, два, три, четыре, пять раз, два, три, четыре, пять
Повысить уровень знаний по истории о квадратных уравнениях и различных способах решения квадратных уравнений

Разместите кнопку на своём сайте:
rpp.nashaucheba.ru


База данных защищена авторским правом ©rpp.nashaucheba.ru НашаУчеба
связаться с администрацией
rpp.nashaucheba.ru
Главная страница