Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка




НазваниеЭлементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка
.А.М. Горького <><> <><><>РЕГИОНАЛЬНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ОБЩЕРОССИЙСКОЙ
Дата18.02.2013
ТипПрезентации


Элементы общей алгебры

  • Группа, кольцо, поле, тело, решетка


Пример

  • Рассмотрим множество несобственных матриц – линейную группу порядка n. Рассмотрим матрицы, определители которых равны единице. Ln(1)⊆Ln. det (A1*A2)=det A1*det A2. Отсюда следует, что определитель произведения двух матриц из Ln(1) равен единице, поэтому Ln(1) подгруппа группы Ln.



Пример

  • Пример конечной подгруппы Ln:

  • {E,-E}⊆ Ln.

  • Докажем, что это подгруппа.

    • замкнутость относительно операций E*E=E, E*-E=-E, -E*-E=E
    • E∈{E,-E}.
  • Если условия выполняются, значит, мы имеем дело с подгруппой.



Истинная подгруппа

  • Каждая группа G обладает единичной подгруппой E={e}.

  • Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной (нетривиальной) подгруппой этой группы.

  • Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.

  • Сама группа G и единичная подгруппа называется несобственными (тривиальными) подгруппами группы G, все остальные ― собственными.



Циклическая группа

  • Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы некоторого непустого множества M, называется подгруппой, порожденной множеством M, и обозначается < M > .

  • Если M состоит из одного элемента a, то < a > называется циклической подгруппой элемента a.

  • Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.

  • Если группа G1 изоморфна некоторой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G1 может быть вложена в группу G.



Кольцо

  • Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с  R справедливы равенства

  • a(b+c)=ab+ac; (b+c)a=ba+ca.



Коммутативное кольцо

  • Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

  • Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную операцию, поэтому его тип – (2,2,1).



Тело

  • Когда группа коммутативна, ее единица называется нулем кольца. Но в кольце может быть единица, т.е. нейтральный элемент по отношению к умножению. Если при этом в кольце R элементы не равны нулю и образуют относительно операции умножения группу, она называется телом. Единица этой группы называется единицей тела.

  • Рассмотрим множество целых чисел – кольцо с единицей, не тело, т.к. нет обратного кроме единицы по отношению к умножению.

  • Множество квадратных матриц данной размерности – кольцо с единицей, не тело.



Поле

  • Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b.

  • Другими словами, для любой пары элементов a 0 и b уравнение ax = b имеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.



Пример

  • Алгебра (Z;+) является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнение 2х=3 в ней неразрешимо.

  • Алгебра (Q;+;*) является полем и называется полем рациональных чисел.

  • Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число — поле.





Алгебра вычетов

  • Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число — поле.

  • Деление: остаток меньше модуля m,

    • остаток (0, 1, … , m-1)
  • {K0; K1;…, K8}=M – остаток при делении на девять.

  • Построим на этом множестве М алгебру Ks⊕Ki=Kp



Таблица Кэли

  • Чтобы задать операцию, зададим таблицу Кэли.

  • Таблица Кэли — в абстрактной алгебре таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли.





k3=C*9+3

  • k3=C*9+3

  • k5=C*9+5

    • k3+k5=(C’+C’’)9+8
  • 3⊕5 mod 9=8

  • 5⊕8 mod 9=4

  • 6⊕5 mod 9=2



m=5

  • m=5

  • a⊕b mod m=



Умножение по модулю m

  • a⊗b mod 5

  • k3=C’5+3 k2=C’’5+2

  • k1=k2k3=C’C’’25+(C’+C’’)5+6



Свойства колец с единицей

  • 0*x=x*0=0

  • Если y∈R, то (-x)y=x(-y)=-xy, где “-” обозначение обратной операции в аддитивной группе кольца.

  • Доказательство: (-x)y+xy=(-x+x)y=0*y=0, x(-y)+xy=x(-y+y)=x*0=0. Значит, (-x)y=x(-y)=-xy



Решетка

  • Решёткой называется множество M, частично упорядоченное отношением нестрогого порядка , с двумя бинарными операциями ∩ и ∪, такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки):

    • a∪a=a; a∩a=a (идемподентность);
    • a∪b=b∪a; a∩b=b∩a (коммутативность);
    • (a∪b)∪c=a∪(b∪c); (a∩b)∩c=a∩(b∩c) (ассоциативность);
    • a∩b)∪a=a, (a∪b)∩a=a (поглощение).


Решетки

  • Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия a∪(b∩c)=(a∪b)∩(a∪c), и a∩(b∪c)=(a∩b)∪(a∩c).

  • Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого выполняется , то он называется нижней гранью (нулём) решётки.

  • Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого выполняется , то он называется верхней гранью (единицей) решётки.

  • Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной.



Дополнение

  • Теорема. Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная.

  • В ограниченной решётке элемент a–1 называется дополнением элемента a, если a∩a–1=0 и a∪a–1=1.



Примеры

  • Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых a,b∈M, что a∪b=max(a,b) и a∩b=min(a,b).

  • Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: a≤b, если a является делителем b. Тогда a∪b есть наименьшее общее кратное этих чисел, а a∩b их наибольший общий делитель.



  • Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной.

  • Конечная решётка всегда полна.



Похожие:

Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка iconОбучающая- обучающая
«кристаллическое тело», «кристаллическая решетка», «монокристалл», «поликристалл», «аморфное тело»; выявить основные свойства кристаллических...

Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка iconЛекция 9 Магнитное поле в вакууме Казакова Елена Лионовна кандидат физико-математических наук доцент кафедры общей физики Петргу ekazakova@psu karelia ru
Магнитное поле движущегося заряда 2 Магнитное поле витка с током 3 Магнитное поле прямого тока

Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка iconЗначение реляционной алгебры Значение реляционной алгебры
Первая версия этой алгебры была определена Э. Коддом в основе всех реляционных бд лежит использование реляционной алгебры, которая...

Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка iconБозон Хиггса Подготовила: Новикова Наталья Гр. 10510/1 Бозон Хиггса
В соответствии с механизмом Хиггса, Вселенную пронизывает некое поле поле Хиггса которое и позволяет частицам обрести массу. Предполагается,...

Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка iconСправочный аппарат книги
Мы изучили почти все элементы книги. Вспомните эти элементы. Перед вами поле с буквами, среди которых спрятались названия некоторых...

Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка iconСома – тело (soma – тело, лат.). сома – тело (soma – тело, лат.)
Внутренние органы размещены в полостях, которые образует тело человека (в основном грудная и брюшная) и включают в свой состав следующие...

Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка iconТвёрдое тело Виды твёрдых тел
Кристаллы-твердые тела, частицы которых( атомы, молекулы или ионы)занимают упорядоченное положение в пространстве. Кристаллическая...

Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка iconРукопись представляют напечатанной в текстовом редакторе Word
Формат страницы А4: верхнее поле 2 см, нижнее поле 2 см, левое поле 2 см, правое поле 2 см

Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка iconПрименение элементов линейной алгебры в экономике Применение элементов линейной алгебры в экономике
«Применение элементов линейной алгебры в экономике» одна из форм научной деятельности студентов, направленная на формирование научного...

Элементы общей алгебры Группа, кольцо, поле, тело, решетка iconКарбоксильная группа – группа атомов Состав этих кислот будет отражаться общей формулой CnH2nO2, или CnH2n+1cooh, или rcooh
Карбоновые кислоты это вещества, содержащие в молекуле одну или несколько карбоксильных групп

Разместите кнопку на своём сайте:
rpp.nashaucheba.ru


База данных защищена авторским правом ©rpp.nashaucheba.ru НашаУчеба
связаться с администрацией
rpp.nashaucheba.ru
Главная страница